Sagen wir mal so: ich war schon bei der neuen KK vorstellig geworden, bevor die Mitgliedschaft bei der alten erloschen war. Nach einer Frist hatte ich bei der neuen KK gefragt, dies wurde verneint. Es ist wohl so, dass zur Vermeidung von Überschneidungen und Lücken die Kündigung und Neuanmeldung erst zum übernächsten Monatsultimo möglich ist, aber da enden auch schon irgendwelche Vorgaben hinsichtlich einzuhaltender Fristen.
Ich hatte aber auch den Vorteil, dass ich keine Postlaufzeiten hatte, da die Abwicklung zwischen der CNS und mir per E-Mail bzw. telefonisch vonstatten ging, während der Kontakt zwischen der neuen KK und mir persönlich war. Letzteres würde ich auf jeden Fall auch empfehlen, wenn dies möglich ist, denn auf diesem Wege können eventuell offene Fragen sofort geklärt werden, und man hat auf jeden Fall ein von Seiten der KK unterschriebenes Dokument in Händen, wenn es doch zu Problemen kommen sollte. Abgesehen davon kann man sich, da das Erstellen der neuen Mitgliedskarten ja doch zwei oder drei Wochen dauert, auch gleich Behandlungsscheine aushändigen lassen, damit man sich damit nicht erst noch auseinandersetzen muss, wenn man dringend ärztliche Hilfe benötigt (also Behandlungsscheine für den Hausarzt [damit der im Zweifelsfall Überweisungen an Fachärzte machen kann] und den Zahnarzt für alle Familienmitglieder). Klingt kompliziert, aber ich habe bei der neuen KK insgesamt nicht mehr als 20 Minuten verbracht, bis das alles in trockenen Tüchern war.