https://cns.public.lu/de/employeur/frontaliers/allemand.html
Normalerweise bekommt Ihr von der CNS das Formular S1 zugeschickt, mit dem Ihr Euch bei einer beliebigen Krankenkasse in Deutschland anmelden könnt. Ihr bekommt dann eine deutsche Krankenversicherungskarte mit der Ihr in Deutschland Gesundheitsleistungen, wie ein deutscher Versicherter in Anspruch nehmen könnt. Das ist dann keine doppelte Versicherung, sondern die deutsche Krankenkasse rechnet die Leistungen mit der CNS ab.
Ohne den Beitritt zu einer deutschen Krankenkasse müsst Ihr Leistungen, die Ihr im Ausland in Anspruch nehmen wollte, vorher bei der CNS genehmigen lassen. Nach meinen Erfahrungen genehmigt die CNS jedoch keine Leistungen im Wohnsitzland (Deutschland) und beruft sich hier auf die Möglichkeit über das S1 Formular.
In den meisten Fällen ist es egal, welche deutsche Krankenkasse man wählt. Ich schätze 95% der Leistungen sind bei allen gleich. Unterschiede gibt's bei Kostenübernahme von z.B. Osteopathie, Zahnbehandlung, Impfungen,...
Ich bin mit der Techniker Krankenkasse ganz zufrieden.