Erstattung der Arztkosten  

Du schickst die Rechnung mit Zahlungsbeleg an Deine Krankenkasse (Bankverbindung nicht vergessen). Das Geld wird Dir dann überwiesen.

Gilt dies auch für Kosten die mir bei einem dt. Arzt entstehen. (z.B.) Zuzahlung etc. Danke!

Nein, weil du Kosten aus Deutschland mit der deutschen KK abrechnen musst, nach den in Deutschland gültigen Kostenübernahmetabellen. (Ich gehe mal einfach davon aus, daß du in Deutschland wohnst).

Ist die Rechnung zur Erstattung an die deutsche oder luxemburger Krankenkasse zu schicken?

sofern der Arzt in L. war an Deine Krankenkasse in L.