Wenn du das 1. Mal in Lux. arbeitest, dauert das etwas bis dir die Lux. KK eine Sozialversicherungsnummer mitteilt. Du bist aber rückwirkend ab Deinem 1. Arbeitstag in Lux. versichert.
Leider kann deine KK in Deutschland die Kosten solange nicht abrechnen bis Sie von Dir das E106 bekommt.
Für diese Zeit sollte man Arztbesuche möglichst vermeiden.
Inwieweit die deutsche Regelung greift, daß du noch bis zu 4 Wochen ünber das Ende deiner Versicherungszeit hinaus weiterversichert bist (Übergangszeit) weiss ich leider nicht. Darüber müsste DIr aber die dt. KK Auskunft geben können.
Bei einem Arbeitgeberwechsel erlebst Du die selbe Situation. Nur geht es dann etwas schneller, weil Du ja schon eine Matr.Nr. hast.