Als Amerikaner in Luxembourg arbeiten?  

Wenn ich richtig verstehe, dann hat Deine Freundin ein unbegrenztes Visum in Deutschland. Normalerweise sind diese nicht nur auf den Mitgliedsstaat, sondern auf die gesamte Europäische Union ausgestellt, bzw. übertragbar. Am Besten mal genau durchlesen und das Luxemburger Arbeitsministerium um Auskunft fragen. Aber - im Prinzip - sollte jeder, der das Recht hat, in D zu leben, auch das Recht haben, gleichzeitig in L zu arbeiten.

Da gilt die Drittstaatenregelung. Der Arbeitgeber fragt die Arbeitserlaubnis an. Die luxemburger Arbeitgeber haben im Allgemeinen damit Erfahrung und es gibt selten Probleme.

Hat die Freundin die Aufenthaltstitel "Daueraufenthalt-EG (Erwerbstätigkeit erstattet)" vielleicht? Das Amt für Ausländerangelegenheiten in Trier sagte mir vor etwa 18 Monaten, dass seit kurzem diese nun auch in Luxemburg akzeptiert wird, ohne dass der Arbeitgeber eine Arbeitserlaubnis beantragen muss.